数字与算数¶
原本这一章只是整理移位什么的。做 PA 做着发现我对数字的认识仍然非常浅薄，于是就整理这个。PA2 的实验记录尽快整理，（虽然）才完成一丢丢。
字节和字¶
一般的计算机都以字节为基本单位，1 字节 = 8 位。 PA 的存储模拟就是一个 char 型数组。
字是指针长度。比如 32 位就是 “字”。PA 的模拟器就是 32 位。
字节序¶
小端法和大端法。
小端法有利于加法，乘法，比大小。
https://www.ruanyifeng.com/blog/2022/06/endianness-analysis.html#comment-433763
整数表示¶
1. 无符号数¶
假设一个整数数据类型有 w 位。无符号数的每一位都用于构成这个数字。于是很显然，w 位可以表示的整数为 \([0, 2^{w}-1]\)。
2. 有符号数¶
为了避免混淆，我们这里只说补码表示数。实际上在大多数情况下，计算机中存储的有符号数都是以补码的形式来存储的。（顺带，补码这个名字取得很烂，完全看不出它用的普遍性）
假设一个整数数据类型有 w 位。有符号数的最高位可以看成符号位，之后的 w - 1 位参与构成这个数字。于是，在非负数的情况下，最高位是 0，表示的整数可以在 \([0, 2^{w-1}-1]\) 之间。二进制来看是 \([(00..00)_2, (01..11)_2]\)。
在负数的情况下，最高位是 1，表示 \(-2^{w-1}\)。于是负数的范围是 \([-2^{w-1}, -1]\)。二进制来看是 \([(10..00)_2, (11..11)_2]\)。
综上，w 位有符号数表示的范围是 \([-2^{w-1}, 2^{w-1}-1]\)。
怎么知道一个数的相反数对应的补码表示呢？太简单了，取反加一即可。举个例子：111010，取反加一得到 000110，很快就知道原来是 -6，得到的相反数是 6。
3. 有符号数与无符号数的转换¶
碰到这种问题时，不要想太多，从位的角度去考虑。
最简单的方法就是写出二进制表示，再转化成另一种类型，不展开说了。
数据在计算机中存储时，不管是以有符号数还是无符号数的形式读取，都不会改变数据本身。
但是，参与了计算以后，数据的类型会改变运算的结果。这里我们等会再说。
C 语言中的数
先说立即数吧。C 语言的立即数都是默认有符号的，比如 1234，声明一个无符号整数请带上后缀 "u"， 比如 1234u。
变量的情况：C 语言中有符号数和无符号数相互转化时，保持底层的位不变。于是下面的代码：
输出 x = 4294967295 = -1
运算的情况下，若二元运算符的一个运算数有符号，还有一个运算数无符号，C 语言会将所有数字转化为无符号数。
练习题：
最经典的就是 -1>0u 这个表达式结果为真，你知道为什么吗。
2147483647>(int)2147483648u，为什么为真？
数字扩展和截断¶
扩展实在是太简单了，对无符号数，左边加 0 即可。有符号数则是左边添符号位。
截断：再说。
位运算¶
其实 C 语言中的位运算还挺麻烦的, 因为没办法直接置位清零.
移位运算¶
左移右移。注意算数右移和有符号扩展对应，逻辑右移和无符号扩展对应。
下面讲一些应用.
将 value 的第 position 位置成 bitValue 的值. 方法是先清零, 再进行或运算.
整数运算¶
无符号加法¶
CSAPP 讲的有些抽象。两个无符号数进行加法或者减法，直接进行加法或者减法，然后在把结果转化成对应的无符号数即可。
比如对 32 位 1-2=-1=4294967295
大数相加可能会溢出，溢出去掉多出来的 1 即可，比如对 4 位，9+12=21=5.
有符号加法¶
对于有符号数，只考虑加法就可以了，因为减去一个数相当于加上一个负数。两个数的补码相加，就和无符号数加法一模一样，加起来，舍去进位即可。
正数加负数不会溢出，溢出的情况可能是正数加正数或负数加负数。
浮点数¶
浮点数现在已经有了统一的表示方式，即 IEEE-754。我们以 64 位双精度浮点数为例进行讲解。
任何的浮点数 \(x\) 都可以按照下面的式子表示：
其中 \(s\) 是符号位，决定浮点数的正负。\(f\) 是小数，满足 \(0\leq f <1\)，决定浮点数的精度。\(e\) 是指数，满足 \(-1022\leq e\leq 1023\)，决定浮点数的范围。看这个式子，实际上就是二进制下的科学记数法。
\(x\) 被存储在一个 64 位的字中，1 位符号位 \(s\)，11 位存 \(e\)，52 位存 \(s\)，如下图所示。
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| 符号位 (1 bit) | 指数 (11 bits) | 尾数 (52 bits) |
+----------------+----------------+----------------------------------------------------+
\(f\) 首位的 1 不需要存储。指数 \(e\) 存储的是 \(e+1023\) 偏移值，保证指数是正数。
下面，举两个实际的例子看如何将数字转换成浮点表示。
\(-12.25\)：是负数，所以 \(s=1\)。再将 \(12.25\) 转化成二进制表示，\(12.25 = 1100.01\)。（读者自行思考如何转换小数）。然后将移动小数点，将整数部分变为 \(1\)——这就是浮点数名称的由来，结果是 \(1.10001*2^3\)。到这里，指数，小数，和负号就都知道了。要存储的就是 \(s=1\)，\(e=3+1023=1026\)，小数部分 \(f=10001\)，那么\(-12.25\) 这个数的浮点表述就是：
+----------------+----------------+----------------------------------------------------+
| 符号位 (1 bit) | 指数 (11 bits) | 尾数 (52 bits) |
+----------------+----------------+----------------------------------------------------+
| 1 | 10000000010 | 1000100000000000000000000000000000000000000000000000 |
+----------------+----------------+----------------------------------------------------+
\(0.1\)：\(0.1\)是正数，但是它在二进制中是一个无限循环小数，\(0.1=0.000110011001100\cdots\)。同样，我们用二进制科学记数法表示：\(1.10011001\cdots * 2^{-4}\)，要存储的就是 \(s=0\)，\(e=-4+1023=1019\)，小数部分 \(f=10011001\cdots\)，直到被截断（舍入）。那么就是：
+----------------+----------------+----------------------------------------------------+
| 符号位 (1 bit) | 指数 (11 bits) | 尾数 (52 bits) |
+----------------+----------------+----------------------------------------------------+
| 0 | 01111111011 | 1001100110011001100110011001100110011001100110011010 |
+----------------+----------------+----------------------------------------------------+
有个重要的值，\(\mathrm{eps}\)，其定义了浮点数的精度，实际上就是 f 所能达到的最小值：
当然，浮点数能达到的最小绝对值是\(2^{-1022}\)。每一个二进制区间 \([2^e, 2^{e+1}]\) 中的精度是相同的，均为 \(2^e\cdot \mathrm{eps}\)。思考一下就可以知道，绝对值越小，精度越高。
浮点数的四则运算，对加法和减法来说，要将两数的指数化成一致，再对小数进行加减法运算，最后将计算结果化成标准形式。乘除则加减指数，对小数部分进行乘除法运算。