不等式

介绍一些有意思的不等式。不等式的结构都很漂亮，是数学之美的一种体现。

从基本不等式开始。

由一个数的平方不小于 0，即可得到基本不等式。

\[ a+b \geq 2\sqrt{ab} \]

等号在 \(a=b\) 时取得。

推广到 n 元情况，即得到均值不等式：

\[ A_n=\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} = G_n \]

即算数均值不小于几何均值。

证明：最简单的证明是考虑归纳法。

\(n=2\) 时已经成立。

设对原命题 \(n=k\) 时成立\(A_{k} \geq G_{k}\)，则 \(n=k+1\) 时，

\[ A_{k+1} = \frac{1}{2k}((k+1)A_{k+1}+(k-1)A_{k+1})=\frac{1}{2k}(a_1+\dots+a_{k+1} + (k-1)A_{k+1}) \]

对两个式子 \(a_1 \dots a_k\)，\(a_{k+1}+(k-1)A_{k+1}\) 用 \(n=k\) 的不等式（\((k-1)A_{k+1}\) 可以看成 \(k-1\) 个数相加），得

\[ \text{原式} \geq \frac{1}{2k}(k\sqrt[k]{a_1a_2\dots a_k}+ k\sqrt[k]{a_{k+1}A^{k-1}_{k+1}}) \geq \sqrt[2k]{a_1a_2\dots a_ka_{k+1}A^{k-1}_{k+1}} \]

得到

\[ A_{k+1}^{2k} \geq a_1a_2\dots a_ka_{k+1}A^{k-1}_{k+1} \]

即 \(A_{k+1} \geq G_{k+1}\)。

当且仅当所有 \(a_i\) 相等时取等号。

取等条件怎么证明？还是考虑凸函数的 Jensen 不等式吧。

\[ f(x)=\ln x \]

是一个严格凹函数，所以有：

\[ \frac{\ln a_1 + \ln a_2 +\dots + \ln a_n}{n} \leq \ln(\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}) \]

即 \(\ln G \leq \ln A\)，得到 \(G\leq A\)。由凹函数的性质知道等号相等当且仅当所有点相等。这算是另外一个证明方法了。