不等式

介绍一些有意思的不等式。不等式的结构都很漂亮，是数学之美的一种体现。

从基本不等式开始。

由一个数的平方不小于 0，即可得到基本不等式。

\[ a+b \geq 2\sqrt{ab} \]

等号在 \(a=b\) 时取得。

推广到 n 元情况，即得到均值不等式：

\[ A_n=\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n} = G_n \]

即算数均值不小于几何均值。

证明：最简单的证明是考虑归纳法。

\(n=2\) 时已经成立。

设对原命题 \(n=k\) 时成立\(A_{k} \geq G_{k}\)，则 \(n=k+1\) 时，

\[ A_{k+1} = \frac{1}{2k}((k+1)A_{k+1}+(k-1)A_{k+1})=\frac{1}{2k}(a_1+\dots+a_{k+1} + (k-1)A_{k+1}) \]

对两个式子 \(a_1 \dots a_k\)，\(a_{k+1}+(k-1)A_{k+1}\) 用 \(n=k\) 的不等式（\((k-1)A_{k+1}\) 可以看成 \(k-1\) 个数相加），得

\[ \text{原式} \geq \frac{1}{2k}(k\sqrt[k]{a_1a_2\dots a_k}+ k\sqrt[k]{a_{k+1}A^{k-1}_{k+1}}) \geq \sqrt[2k]{a_1a_2\dots a_ka_{k+1}A^{k-1}_{k+1}} \]

得到

\[ A_{k+1}^{2k} \geq a_1a_2\dots a_ka_{k+1}A^{k-1}_{k+1} \]

即 \(A_{k+1} \geq G_{k+1}\)。

当且仅当所有 \(a_i\) 相等时取等号。

当是显然的，仅当这样证：

假设均值不等式已经证明，考虑等号成立时存在两个数不相等，即：

\[ G^n = a_1a_2\dots a_n = A^n \]

并且存在 \(a_i \neq a_j\)。

现在把它们替换成平均数：

\[ m=\frac{a_i+a_j}/2 \]

替换后，算术平均数 \(A'\) 仍然是 \(A\)，但是由于：

\[ m^2-a_ia_j=(\frac{a_i+a_j}/2)^2-a_ia_j=(\frac{a_i-a_j}/2)^2>0 \]

故替换后的 \(P'\) 会增大：

\[ P'=a_1\dots a_n\frac{m^2}{a_ia_j} > a_1\dots a_n = A^n \]

然而替换后的 n 个数，算数平均值仍然是 A，由均值不等式可得：

\[ P' \leq A^n \]

矛盾。

因此，等号成立时\(a_i\)必须取等。